РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1791 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: V

Классификатор стереометрии: 3\.6\. Неправильные пирамиды, 4\.2\. Объем многогранника

Разные задачи

Основанием пирамиды SABCD является выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD которого перпендикулярны и пересекаются в точке O, АО  =  9, ОС  =  16, ВО  =  OD  =  12. Вершина S пирамиды SABCD удалена на расстояние  $дробь: числитель: 61, знаменатель: 7 конец дроби$ от каждой из прямых AB, BC, СD и AD. Через середину высоты пирамиды SABCD параллельно ее основанию проведена секущая плоскость, которая делит пирамиду на две части. Найдите значение выражения 10 · V, где V  — объем большей из частей.

Решение. Пусть отрезок SH  — высота пирамиды. Если вершина S равноудалена от сторон основания ABCD, то и точка H равноудалена от сторон основания ABCD, следовательно, точка H  — центр вписанной в четырехугольник ABCD окружности. Воспользуемся формулой $S = p умножить на r,$ где p  — полупериметр. Находим:

$S_ABCD = дробь: числитель: AC умножить на BD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 25 умножить на 24, знаменатель: 2 конец дроби = 300.$

Следовательно, $AB = корень из: начало аргумента: AO в квадрате плюс OB в квадрате конец аргумента = 15$ и $BC = корень из: начало аргумента: BO в квадрате плюс OC в квадрате конец аргумента = 2.$ Получаем $p = AB плюс BC = 35,$ откуда

$r = дробь: числитель: 300, знаменатель: 35 конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 7 конец дроби .$

С другой стороны,

$SH в квадрате плюс r в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 61, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в квадрате равносильно SH в квадрате = дробь: числитель: 61 в квадрате минус 60 в квадрате , знаменатель: 49 конец дроби равносильно$
$равносильно SH в квадрате = дробь: числитель: 121, знаменатель: 49 конец дроби равносильно SH = дробь: числитель: 11, знаменатель: 7 конец дроби .$ $SH в квадрате плюс r в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 61, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно SH в квадрате = дробь: числитель: 61 в квадрате минус 60 в квадрате , знаменатель: 49 конец дроби равносильно$
$равносильно SH в квадрате = дробь: числитель: 121, знаменатель: 49 конец дроби равносильно SH = дробь: числитель: 11, знаменатель: 7 конец дроби .$

Отсюда

$V_SABCD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 7 конец дроби умножить на 300 = дробь: числитель: 1100, знаменатель: 7 конец дроби .$

Сечение, проведенное через середину высоты, делит пирамиду на две части, одна из которых  — пирамида, подобная исходной с коэффициентом  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, объем частей составляет $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ и $дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби$ от объема исходной пирамиды соответственно. Таким образом,

$10V = дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1100, знаменатель: 7 конец дроби умножить на 10 = 1375.$

Ответ: 1375.

Ответ: 1375

1791

1375

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: V

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.6\. Неправильные пирамиды, 4\.2\. Объем многогранника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1791	1375