Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1900
i

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го це­ло­го ре­ше­ния на ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 7 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 28 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 7 мень­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 56 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть  дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби = a, тогда

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 28 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a мень­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 56 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a .

Умно­жим обе части не­ра­вен­ства на  28 в сте­пе­ни a боль­ше 0, по­лу­чим:

 2 в сте­пе­ни a плюс 1 мень­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a .

Левая часть не­ра­вен­ства мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния, а пра­вая мо­но­тон­но убы­ва­ет. Сле­до­ва­тель­но, при  a = 0 левая и пра­вая части не­ра­вен­ства равны, то есть не­ра­вен­ство верно при  a мень­ше или равно 0. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: x минус 5, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 7 мень­ше x мень­ше или равно 5.

Наи­мень­шее целое ре­ше­ние равно –6, а ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства  — 12. Про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го це­ло­го ре­ше­ния на ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства равно –72.

 

Ответ: − 72.


Аналоги к заданию № 1900: 1932 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2022
Сложность: III
Классификатор алгебры: 4\.8\. По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства дру­гих типов
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной, Ис­поль­зо­ва­ние кос­вен­ных ме­то­дов