РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2994 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 7

Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения

Дана функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 26 плюс 2x в квадрате , знаменатель: x плюс 2 конец дроби .$ Найдите значение выражения a · n, где a  — сумма точек экстремума данной функции, n  — количество всех целых чисел из промежутков убывания данной функции.

Решение. Найдем производную заданной функции:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 26 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 26 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ', знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 26 минус 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4x в квадрате плюс 8x минус 26 минус 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 8x минус 26, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 26 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 26 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ', знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 26 минус 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x в квадрате плюс 8x минус 26 минус 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 8x минус 26, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Найдем нули производной:

$дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 8x минус 26, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = 0 равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x минус 13 = 0, x не равно q минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений x = минус 2 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , x = минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точки $x = минус 2 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента$ и $x = минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента$ являются точками экстремумов, их сумма равна –⁠4. Функция убывает на отрезке  $левая квадратная скобка минус 2 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ; минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента правая квадратная скобка .$ Оценим:

$минус 2 минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента меньше минус 2 минус корень из: начало аргумента: 16 конец аргумента = минус 2 минус 4 = минус 6,$

$минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента больше минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 16 конец аргумента = минус 2 плюс 4 = 2.$

Следовательно, в промежутке убывания функция лежат целые числа от –⁠6 до 2, не включая –⁠2, всего их 8. Значение искомого выражения равно  $минус 4 умножить на 8 = минус 32.$

Ответ: − 32.

Ответ: -32

2994

-32

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 7

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2994	-32